平方差公式

一、內容和內容解析

　　《平方差公式》是在學習了有理數運算、列簡單的代數式、一次方程及不等式、整式的加減及整式乘法等知識的基礎上，在學生已經掌握了多項式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認知規律的典型范例.對它的學習和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數等內容奠定了基礎，同時也為完全平方公式的學習提供了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學中也具有很重要地位，是初中階段的第一個公式.

　　本節課的教學重點是：經歷探索平方差公式的全過程，并能運用公式進行簡單的運算.

二、目標和目標解析

　　目標

　　1、經歷平方差公式的探索過程，進一步發展學生的符號感和推理能力、歸納能力；

　　2、掌握平方差公式的結構特征，能運用公式進行簡單的運算；

　　3、會用幾何圖形說明公式的意義，體會數形結合的思想方法.

　　目標解析

　　1、讓學生經歷特例──歸納──猜想──驗證──用數學符號表示這一數學活動過程，積累數學活動的經驗，進一步發展學生的符號感、推理能力、歸納能力，同時體會數學的簡潔美、培養他們的合情推理和歸納的能力以及在解決問題過程中與他人合作交流的重要性.

　　2、讓學生了解平方差公式產生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結構特征，并能靈活運用平方差公式解決問題.在數學活動中，引導學生觀察、分析公式的結構特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習中，對發生的錯誤做具體分析，加深學生對公式的理解.

　　3、通過自主探究與合作交流的學習方式，讓學生經歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過程，發揮學生的主體作用，增強學生學數學、用數學的興趣.同時，讓學生在公式的運用中積累解題的經驗，體會成功的喜悅.

三、教學問題診斷分析

　　學生已熟練掌握了冪的運算和整式乘法，但在進行多項式乘法運算時常常會確定錯某些項符號及漏項等問題.學生學習平方差公式的困難在于對公式的結構特征以及公式中字母的廣泛含義學生的理解.因此，教學中引導學生分析公式的結構特征，并運用變式訓練揭示公式的本質特征，以加深學生對公式的理解.

　　本節課的教學難點：利用數形結合的數學思想方法解釋平方差公式，靈活運用平方差公式進行計算.

四、教學過程設計

　　(一)創設情境，引出課題

　　問題1：計算下列多項式的積，你能發現什么規律?

　　(1)(x+1)(x-1)=；

　　(2)(m+2)(m-2)=；

　　(3)=；

　　(4)(2x+1)(2x-1)=.

　　【設計意圖】通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，既復習了舊知，又為下面學習平方差公式作了鋪墊，讓學生感受從一般到特殊的認識規律，引出乘法公式--平方差公式.

　　(二)探索新知，嘗試發現

　　問題2：依照以上四道題的計算回答下列問題：

　　①式子的左邊具有什么共同特征?

　　②它們的結果有什么特征?

　　③能不能用字母表示你的發現?

　　師生活動：教師提問，學生通過自主探究、合作交流，發現規律，式子左邊是兩個數的和與這兩個數的差的積，右邊是這兩個數的平方差，并猜想出：.

　　【設計意圖】根據最近發展區理論，在學生已掌握的多項乘法法則的基礎上,探索具有特殊形式的多項式乘法──平方差公式，這樣更加自然、合理.

　　(三)數形結合，幾何說理

　　問題3：活動探究：將長為(a+b)，寬為(a-b)的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形，并請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關系.

　　【設計意圖】通過學生小組合作，完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關系,進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,滲透了數形結合的思想，讓學生體會到代數與幾何的內在聯系.引導學生學會從多角度、多方面來思考問題.對于任意的a、b，由學生運用多項式乘法計算：，驗證了其公式的正確性.

　　(四)總結歸納，發現新知

　　問題4：你能用文字語言表示所發現的規律嗎?

　　兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.

　　【設計意圖】鼓勵學生用自己的語言表述，從而提高學生的語言組織與表達能力.

　　(五)剖析公式，發現本質

　　在平方差公式中，其結構特征為：

　　①左邊是兩個二項式相乘，其中a與a是相同項，b與-b是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即；

　　②讓學生說明以上四個算式中，哪些式子相當于公式中的'a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數或式.

　　【設計意圖】通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性并通過分析公式的本質特征掌握公式.在認清公式的結構特征的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應手，起到事半功倍的效果.

　　(六)鞏固運用，內化新知

　　問題5：判斷下列算式能否運用平方差公式計算：

　　(1)(2x+3a)(2xndash; 3b)；(2)；

　　(3)(-m+n)(m-n)；(4)；

　　(5)；(6).

　　【設計意圖】學生經過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件.鞏固平方差公式，進一步體會字母a、b可以是數，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解.

　　問題6：判斷下列計算是否正確：

　　(1)(2andash; 3b)(2andash; 3b)=4a2-9b2

　　(2)(x+2)(xndash; 2)=x2-2

　　(3)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4

　　(4)

　　【設計意圖】對學生常出現的錯誤，作具體的分析，以加深學生對公式的理解，進一步掌握平方差公式的本質特征和運用平方差公式必須具備的條件.

　　問題7：計算：

　　(1)(2x+3)(3x-3)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3).

　　解：(1)(2x+3)(2xndash; 3)=(2x)2-32=4x 2-9

　　(2)(b+2a)(2a-b)

　　=(2a)2-b2

　　=4a2-b2

　　(3)

　　=

　　=

　　【設計意圖】解決操作層面問題.可提議用不同方法計算，以體現學生的創造性.

　　(七)拓展深化，發展思維

　　問題8：計算：

　　(1)98times;(-102)；(2).

　　【設計意圖】把相乘兩數轉化成兩數和與兩數差的乘積形式，此題體現了轉化的思想和數式通性；另一題是平方差公式與一般多項式乘法的綜合，注意不能用公式的仍按多項式乘法法則進行.

　　問題9：小明家有一塊L形的自留地，現在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請你來幫小明設計，并算出這塊自留地的面積.

　　【設計意圖】運用平方差公式解決實際問題，體現了數學來源于生活，服務于生活，學生感受到學習了有用的數學，設計此題與平方差公式的幾何意義相吻合，加深學生對平方差公式的理解.

　　(八)小試牛刀，挑戰自我

　　1.計算：

　　2.在下列括號中填上合適的多項式：

　　3.看誰算得快：

　　【設計意圖】設計此組題旨在從正反兩方面靈活運用平方差公式，由結果追溯算式中的相同項和相反項，關鍵在于理解公式結構特征，同時鍛煉了學生逆向思維能力，也為后續的學習做了鋪墊.第2個填空題有兩種填法，屬開放設計.目的是加強學生對公式結構特征的理解，同時也鍛煉學生的發散思維.

　　(九)總結概括，自我評價

　　問題10：這節課你有哪些收獲?還有什么困惑?

　　【設計意圖】從知識和情感態度兩個方面加以小結，使學生對本節課的知識有一個系統全面的認識.

　　(十)課后作業

　　必做題：P156習題15.2 1

　　選做題：1.，則A的末位數是_.

　　2.計算：(1)；

　　(2)；

　　(3)；

　　(4).

　　【設計意圖】作業分層處理有較大的彈性，體現作業的鞏固性和發展性原則，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，讓不同的人在數學上得到不同的發展.

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