一、基本簡(jiǎn)介

　　一般地，我們把形如y=ax+bx+c(其中a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。x為自變量，y為因變量。等號(hào)右邊自變量的最高次數(shù)是2。

　　主要特點(diǎn)

　　“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。“未知數(shù)”只是一個(gè)數(shù)(具體值未知，但是只取一個(gè)值)，“變量”可在一定范圍內(nèi)任意取值。 在方程中適用“未知數(shù)”的概念(函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會(huì)遇到特殊情況)，但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別.如同函數(shù)不等于函數(shù)關(guān)系。

　　二次函數(shù)圖像與X軸交點(diǎn)的情況

　　當(dāng)△=b-4ac>0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

　　當(dāng)△=b-4ac=0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。

　　當(dāng)△=b-4ac<0時(shí)，函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)。

　　二、二次函數(shù)圖像

　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。

　　軸對(duì)稱

　　二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a

　　對(duì)稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。

　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)。

　　a,b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè).

　　a,b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

　　頂點(diǎn)

　　二次函數(shù)圖像有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b/4a).

　　當(dāng)h=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，P在x軸上。即可表示為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)+k。

　　h=-b/2a， k=(4ac-b)/4a。

　　開口方向和大小

　　二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。

　　當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則二次函數(shù)圖像的.開口越小。

　　決定對(duì)稱軸位置的因素 折疊

　　一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

　　當(dāng)a>0,與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左; 因?yàn)閷?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同號(hào)

　　當(dāng)a>0,與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0，也就是- 2a="">0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)

　　可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0 )，對(duì)稱軸在y軸右。

　　事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值。可通過對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

　　決定與y軸交點(diǎn)的因素

　　常數(shù)項(xiàng)c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。

　　二次函數(shù)圖像與y軸交于(0,C)

　　注意：頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)， 與y軸交于(0,C)。

　　與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

　　a<0;k>0或a>0;k<0時(shí)，二次函數(shù)圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

　　k=0時(shí)，二次函數(shù)圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)。

　　a<0;k<0或a>0,k>0時(shí)，二次函數(shù)圖像與X軸無交點(diǎn)。

　　當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=h處取得最小值ymin=k，在x

　　當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在x=h處取得最大值ymax=k，在x

　　當(dāng)h=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)

　　三、二次函數(shù)公式匯總：交點(diǎn)式、兩根式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，則稱y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k為常數(shù)，a≠0)。

　　(3)交點(diǎn)式(與x軸)：y=a(x-x1)(x-x2)

　　(4)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.

　　說明：

　　(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)，h=0時(shí)，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。

　　(2)當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根x1和x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)。

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