拋物線焦點弦長公式推導過程

公式一，AB＝X1＋X2＋P。直接利用拋物線定義即可。AB＝AF＋BF＝X1＋P／2十X2＋p／2＝X1＋X2＋P。公式二。AB＝2P／Sinalpha;平方。令x＝my＋p／2，（m＝COSalpha;／Sinalpha;）代入方程得y＾2－2mPy－p＾2＝0得丨y1－y2丨＝2根號下（1＋m＾2）*P。弦長AB＝丨y1-y2｜／Sinalpha;＝2P／Sinalpha;平方。

拋物線焦點弦長公式推導過程

拋物線的焦點弦長公式有兩個，一個是坐標形式的，一個是傾角形式的，設拋物線為y^2=2px。

（1）坐標形式：設過拋物線焦點F的弦為AB，A（x1，y1），B（x2，y2），根據拋物線定義可得AF=x1+p/2，BF=x2+p/2，則AB=x1+x2+p.

（2）傾斜角形式：是過焦點F的弦AB的傾斜角為alpha;（設A點在上方），過A作x軸的垂線，則根據拋物線定義可以得到：AFcosalpha;+p=AF，解得：AF=p/（1-cosalpha;），同理可以得到：AF=p/（1+cosalpha;），則焦點弦長為：AB=AF+BF=2p/sin^2alpha;。

拋物線焦點弦長公式推導過程

拋物線

焦點弦公式2p/sina^2

證明：設拋物線為y^2=2px(pgt0)，過焦點F(p/2，0)的弦直線方程為y=k(x-p/2)，直線與拋物線交于A（x1，y1)，B(x2，y2)

聯立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由拋物線定義，AF=A到準線x=-p/2的距離=x1+p/2

BF=x2+p/2

所以AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

證畢！

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